Logaritmo de un número negativo
El logaritmo de un número negativo es la función polivalente
Aquí el logaritmo natural se escribe como log.
Explicación
Todo número negativo es un número complejo. Con las coordenadas polares (r, θ) se pueden describir los números negativos, porque se encuentran en el plano complejo sobre el eje real x, donde θ = 0, ±π, ±2π, ... es.
La definición del logaritmo puede extenderse a argumentos negativos y complejos. Un logaritmo es la inversa de una función exponencial. Para el número complejo w se aplica
ew = z con como inversa w = log z
Se habla de un logaritmo porque en z hay infinitos números w que actúan como logaritmos. Difieren en un múltiplo entero de 2πi. Esto se debe a que e2nπ i = 1. Se escriba z como
con valor absoluto r y argumento φ, entonces cada uno de los números
es un logaritmo de z. El logaritmo para números complejos z es una función múltiple
El valor del logaritmo para n = 0 se llama valor principal del logaritmo. El argumento de z en el intervalo [0, 2π) se llama valor principal. También se elige el intervalo (−π, π] como valor principal.
Ejemplo 1
Los números negativos son un caso especial de los números complejos. Así, z = −1 es un número complejo en el círculo unitario de radio r = 1 y un semicírculo girado φp = π. El logaritmo de −1 tiene, por tanto, un valor principal de
log (−1) = log (1) + πi = πi.